Grundzüge einer quantitativen Genealogie (Rösch)/025
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In konsequenter Weiterentwicklung des Grundsatzes der jeweils ersten Fälle Δk = 2, b = 2/4; Δk = 3, b = 4/8; Δk = 4, b = 8/16 der Fig. 11 sehen wir in Fig. 14 eine At. aus lauter Geschwisterehen aufgebaut; Fig. 15 zeigt eine At. mit ausschließlich Vetternehen, Fig. 16 eine At., die in der unteren Hälfte (bis k = -4) ohne Ahnenimplex belibt, dann aber bis k = -7 die Ahnenzahl soweit reduziert, daß 1/4 des Probanden N aus dieser Gen. von einem einzigen Ahn A stammt. Schließlich gibt noch Fig. 17 einen Fall von alternierenden Zeugungen durch Vater- und Tochterindividuen bzw. Mutter- und Sohnindividuen, also von Gen-verschiebungen, die sich von Ahn zu Ahn immer drastischer verschieben.
Vergleicht man die Vws.-beziehungen eines Ahns dieser Beispiele mit den entsprechenden einer implexfreien At., so ergibt sich folgendes: In Fig. 14 ist b für jeden Ahn in Bezug auf den Probanden (sowie in Bezug auf jede andere Person der At.!) gleich 1, dieser ist also mit jedem seiner Ahnen im nullten Grad (= g’b) verwandt! Denn zu der direkteen Abstammung von einem Ahn, die in der Summe aller Wege stets b = 1/2 beträgt, kommen für den Probanden die zusätzlichen Beziehungen über alle gemeinsamen Vorfahren, eine unendliche Reihe (bei unbegrenzt fortgesetzter Geschwisterheirat) mit der Summe 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1/2. Im Beispiel Fig. 15 gilt für Probanden gegenüber einem seiner Eltern bN = 1/2 + 2/16 + 4/64 + 8/256 + … = 3/4, für jeden anderen Ahn bN = 1/2; g’b wird also für die eltern (nach Tabelle 1) = 0.415, für alle anderen Ahnen = 1. In Fig. 16 unterscheiden sich die einzelnen Gen., und zar gilt für ein Glied der -1. Gen. bN = 1/2 + 128/1024 + 128/8192 = 41/64, für k = -2 bN = 1/4 + 64/512 + 64/4096 = 25/64, für k = -3 bN = 1/8 + 32/256 + 32/2048 = 17/64, für k = -4 bN = 1/16 + 16/128 + 16/1024 = 13/64, für k = -5 bN = 4/32 + 8/64 + 8/512 = 17/64; in k = -6 erhalten die äußeren Ahnen je bN = 16/64, die inneren je bN = 16/64 + 16/256 = 20/64, und in k = -7 wird für A bN = 32/128 = 1/4, für alle anderen Ahnen bN = 16/128 = 1/8; in jeder folgenden Gen. halbieren sich diese Werte regelmäßig wie in „normalen“ At. Dieser Wert von b = 1/4, also g’b = 2, den A aufweist, ist die höchste Zahl, die ein fernstehender Ahn ohne andere zurückliegende Verbindungen zu N und bei Vermeidung von Geschwisterehen auf sich versammeln kann, und nach dem Bauprinzig von Fig. 16 kann eine solche Konzentration auf beliebige Entfernung von N hin aus einer völlig „dispergierten“ At. noch erzieht werden (die zweifache Ehe des A ist dabei ohne Bedeutung; sie wurde nur gewählt, um seine Einzelperson aus der Gen. durch besonders hohe b-Zahl herauszuheben). Schließlich bietet der Fall von Fig. 17 noch einiges Interesse. Auch hier errechnet sich der mittlere bVA. für jeden Ahn des N zu b = 1, wie in Fig. 14; beachtet man aber davon nur den auf reine Abstammung ohne weitere Seiten-vws. entfallenden Anteil (indem man also mit dem jeweils betrachteten Ahn die Kette der Elternheiraten abbricht), so ergibt sich bei zunehmender Entfernung von N, also bei gliederweisem „Emporklettern“ auf der Leiter der Fig. 17 eine Reihe folgender Form: 1/2 = 0.5; 1/2 + 1/4 = 0.75; 2/4 + 1/8 = 0.625; 1/4 + 3/8 + 1/16 = 0.688; 3/8 + 4/16 + 1/32 = 0.656; 1/8 + 6/16 + 5/32 + 1/64 = 0.672; 4/16 + 10/32 + 6/64 + 1/128 = 0.664; 1/16 + 10/32 + 15/64 + 7/128 + 1/256 = 0.668; 5/32 + 20/64 + 21/128 + 8/256 + 1/512 = 0.666 usf., also eine unendliche Reihe mit ozillierenden